Задача №1025

Решение

Пункт №1

Функция \(\lg{x}\) определена при условии \(x\gt{0}\), поэтому область определения заданной функции будет такой: \(D(y)=(0;+\infty)\).

Пункт №2

\(x+3\gt{0}\); \(x\gt{-3}\).

Область определения: \(D(y)=(-3;+\infty)\).

Пункт №3

\(5-2x\ge{0}\); \(x\le\frac{5}{2}\).

Область определения: \(D(y)=\left(-\infty;\frac{5}{2}\right]\).

Пункт №4

\(-px\ge{0}\); \(x\le{0}\).

Область определения: \(D(y)=\left(-\infty;0\right]\).

Пункт №5

\(x^2-1=0\); \(x_1=-1\), \(x_2=1\).

Исключая точки, в которых знаменатель равен 0, получим такую область определения: \(D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\).

Пункт №6

Так как \(x^2\ge{0}\) при всех \(x\in{R}\), то \(x^2+1\gt{0}\), т.е. знаменатель не может равняться 0 ни при каких действительных значениях аргумента. Следовательно, область определения \(D(y)=R\).

Пункт №7

\(x^3-x=0\); \(x(x-1)(x+1)=0\); \(x_1=0\); \(x_2=-1\), \(x_3=1\).

Исключая точки, в которых знаменатель равен 0, получим такую область определения: \(D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;1)\cup(1;+\infty)\).

Пункт №8

\(x^2-3x+2=0\), \(D=1\), \(x_1=1\), \(x_2=2\).

Исключая точки, в которых знаменатель равен 0, получим такую область определения: \(D(y)=(-\infty;1)\cup(1;2)\cup(2;+\infty)\).

Пункт №9

\(1-x^2\ge{0}\); \(x^2\le{1}\); \(|x|\le{1}\); \(-1\le{x}\le{1}\).

Область определения: \(D(y)=[-1;1]\).

Пункт №10

\(x^2-4x\gt{0}\); \(x(x-4)\gt{0}\); \(\left[\begin{aligned}&x\lt{0};\\&x\gt{4}.\end{aligned}\right.\).

Область определения: \(D(y)=(-\infty;0)\cup(4;+\infty)\).

Пункт №11

\(x^2-4x+3\ge{0}\); \((x-1)(x-3)\ge{0}\); \(\left[\begin{aligned}& x\le{1};\\ & x\ge{3}.\end{aligned}\right.\).

Область определения: \(D(y)=(-\infty;1]\cup[3;+\infty)\).

Пункт №12

\(x^2-3x+2\gt{0}\); \((x-1)(x-2)\gt{0}\); \(\left[\begin{aligned}&x\lt{1};\\&x\gt{2}.\end{aligned}\right.\).

Область определения: \(D(y)=(-\infty;1)\cup(2;+\infty)\)

Пункт №13

\(-1\le\frac{x}{4}\le{1}\); \(-4\le{x}\le{4}\).

Область определения: \(D(y)=[-4;4]\).

Пункт №14

\(-1\le{x-2}\le{1}\); \(1\le{x}\le{3}\).

Область определения: \(D(y)=[1;3]\).

Пункт №15

\(-1\le{1-2x}\le{1}\); \(0\le{x}\le{1}\).

Область определения: \(D(y)=[0;1]\).

Пункт №16

\(-1\le\frac{1-2x}{4}\le{1}\); \(-\frac{3}{2}\le{x}\le\frac{5}{2}\).

Область определения: \(D(y)=\left[-\frac{3}{2};\frac{5}{2}\right]\).

Пункт №17

\(\left\{\begin{aligned}&-1\le\sqrt{2x}\le{1};\\&2x\ge{0}\end{aligned}\right.\); \(0\le{x}\le\frac{1}{2}\).

Область определения: \(D(y)=\left[0;\frac{1}{2}\right]\).

Пункт №18

\(1-|x|\ge{0}\); \(|x|\le{1}\); \(-1\le{x}\le{1}\).

Область определения: \(D(y)=\left[-1;1\right]\).

Пункт №19

\(|x|-x\gt{0}\); \(|x|\gt{x}\); \(x\lt{0}\).

Область определения: \(D(y)=(-\infty;0)\).

Пункт №20

Так как при любых действительных значениях переменной имеем \(|x|\ge{x}\), то \(x-|x|\le{0}\) при всех \(x\in{R}\). Т.е. область определения: \(D(y)=\varnothing\).

Пункт №21

\(\frac{5x-x^2}{4}\ge{1}\); \(x^2-5x+4\le{0}\); \(1\le{x}\le{4}\).

Область определения: \(D(y)=[1;4]\).

Пункт №22

\(\sin{x}\gt{0}\); \(2\pi{n}\lt{x}\lt\pi+2\pi{n}\), \(n\in{Z}\).

Область определения: \(D(y)=\bigcup\limits_{n\in{Z}}\left(2\pi{n};\pi+2\pi{n}\right)\).

Пункт №23

\( \left\{\begin{aligned} &2+\sin{x}\neq{0};\\ &-1\le\frac{2}{2+\sin{x}}\le{1}. \end{aligned}\right. \)

Так как \(-1\le\sin{x}\le{1}\), то \(2+\sin{x}\gt{0}\) при любых \(x\in{R}\).

\(\frac{2}{2+\sin{x}}\le{1}\); \(\sin{x}\ge{0}\); \(2\pi{n}\le{x}\le\pi+2\pi{n}\), \(n\in{Z}\)

Область определения: \(D(y)=\bigcup\limits_{n\in{Z}}\left[2\pi{n};\pi+2\pi{n}\right]\).

Пункт №24

\(x\gt{0}\); \(x\neq{1}\).

Область определения: \(D(y)=(0;1)\cup(1;+\infty)\).