0047-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №47 параграфа №2 главы №1 "Функции" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти области определения данных функций:

  1. [math]y=1-\lg{x}[/math]
  2. [math]y=\lg(x+3)[/math]
  3. [math]y=\sqrt{5-2x}[/math]
  4. [math]y=\sqrt{-px}[/math], [math]p\gt{0}[/math]
  5. [math]y=\frac{1}{x^2-1}[/math]
  6. [math]y=\frac{1}{x^2+1}[/math]
  7. [math]y=\frac{1}{x^3-x}[/math]
  8. [math]y=\frac{2x}{x^2-3x+2}[/math]
  9. [math]y=1-\sqrt{1-x^2}[/math]
  10. [math]y=\frac{1}{\sqrt{x^2-4x}}[/math]
  11. [math]y=\sqrt{x^2-4x+3}[/math]
  12. [math]y=\frac{x}{\sqrt{x^2-3x+2}}[/math]
  13. [math]y=\arcsin\frac{x}{4}[/math]
  14. [math]y=\arcsin(x-2)[/math]
  15. [math]y=\arccos(1-2x)[/math]
  16. [math]y=\arccos\frac{1-2x}{4}[/math]
  17. [math]y=\arcsin\sqrt{2x}[/math]
  18. [math]y=\sqrt{1-|x|}[/math]
  19. [math]y=\frac{1}{\sqrt{|x|-x}}[/math]
  20. [math]y=\frac{1}{\sqrt{x-|x|}}[/math]
  21. [math]y=\sqrt{\lg\frac{5x-x^2}{4}}[/math]
  22. [math]y=\lg\sin{x}[/math]
  23. [math]y=\arccos\frac{2}{2+\sin{x}}[/math]
  24. [math]y=\log_{x}2[/math]

Решение

Пункт №1

Функция [math]\lg{x}[/math] определена при условии [math]x\gt{0}[/math], поэтому область определения заданной функции будет такой: [math]D(y)=(0;+\infty)[/math].

Пункт №2

[math]x+3\gt{0}[/math]; [math]x\gt{-3}[/math].

Область определения: [math]D(y)=(-3;+\infty)[/math].

Пункт №3

[math]5-2x\ge{0}[/math]; [math]x\le\frac{5}{2}[/math].

Область определения: [math]D(y)=\left(-\infty;\frac{5}{2}\right][/math].

Пункт №4

[math]-px\ge{0}[/math]; [math]x\le{0}[/math].

Область определения: [math]D(y)=\left(-\infty;0\right][/math].

Пункт №5

[math]x^2-1=0[/math]; [math]x_1=-1[/math], [math]x_2=1[/math].

Исключая точки, в которых знаменатель равен 0, получим такую область определения: [math]D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)[/math].

Пункт №6

Так как [math]x^2\ge{0}[/math] при всех [math]x\in{R}[/math], то [math]x^2+1\gt{0}[/math], т.е. знаменатель не может равняться 0 ни при каких действительных значениях аргумента. Следовательно, область определения [math]D(y)=R[/math].

Пункт №7

[math]x^3-x=0[/math]; [math]x(x-1)(x+1)=0[/math]; [math]x_1=0[/math]; [math]x_2=-1[/math], [math]x_3=1[/math].

Исключая точки, в которых знаменатель равен 0, получим такую область определения: [math]D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;1)\cup(1;+\infty)[/math].

Пункт №8

[math]x^2-3x+2=0[/math], [math]D=1[/math], [math]x_1=1[/math], [math]x_2=2[/math].

Исключая точки, в которых знаменатель равен 0, получим такую область определения: [math]D(y)=(-\infty;1)\cup(1;2)\cup(2;+\infty)[/math].

Пункт №9

[math]1-x^2\ge{0}[/math]; [math]x^2\le{1}[/math]; [math]|x|\le{1}[/math]; [math]-1\le{x}\le{1}[/math].

Область определения: [math]D(y)=[-1;1][/math].

Пункт №10

[math]x^2-4x\gt{0}[/math]; [math]x(x-4)\gt{0}[/math]; [math]\left[\begin{aligned}&x\lt{0};\\&x\gt{4}.\end{aligned}\right.[/math].

Область определения: [math]D(y)=(-\infty;0)\cup(4;+\infty)[/math].

Пункт №11

[math]x^2-4x+3\ge{0}[/math]; [math](x-1)(x-3)\ge{0}[/math]; [math]\left[\begin{aligned}&x\le{1};\\&x\ge{3}.\end{aligned}\right.[/math].

Область определения: [math]D(y)=(-\infty;1]\cup[3;+\infty)[/math].

Пункт №12

[math]x^2-3x+2\gt{0}[/math]; [math](x-1)(x-2)\gt{0}[/math]; [math]\left[\begin{aligned}&x\lt{1};\\&x\gt{2}.\end{aligned}\right.[/math].

Область определения: [math]D(y)=(-\infty;1)\cup(2;+\infty)[/math].

Пункт №13

[math]-1\le\frac{x}{4}\le{1}[/math]; [math]-4\le{x}\le{4}[/math].

Область определения: [math]D(y)=[-4;4][/math].

Пункт №14

[math]-1\le{x-2}\le{1}[/math]; [math]1\le{x}\le{3}[/math].

Область определения: [math]D(y)=[1;3][/math].

Пункт №15

[math]-1\le{1-2x}\le{1}[/math]; [math]0\le{x}\le{1}[/math].

Область определения: [math]D(y)=[0;1][/math].

Пункт №16

[math]-1\le\frac{1-2x}{4}\le{1}[/math]; [math]-\frac{3}{2}\le{x}\le\frac{5}{2}[/math].

Область определения: [math]D(y)=\left[-\frac{3}{2};\frac{5}{2}\right][/math].

Пункт №17

[math]\left\{\begin{aligned}&-1\le\sqrt{2x}\le{1};\\&2x\ge{0}\end{aligned}\right.[/math]; [math]0\le{x}\le\frac{1}{2}[/math].

Область определения: [math]D(y)=\left[0;\frac{1}{2}\right][/math].

Пункт №18

[math]1-|x|\ge{0}[/math]; [math]|x|\le{1}[/math]; [math]-1\le{x}\le{1}[/math].

Область определения: [math]D(y)=\left[-1;1\right][/math].

Пункт №19

[math]|x|-x\gt{0}[/math]; [math]|x|\gt{x}[/math]; [math]x\lt{0}[/math].

Область определения: [math]D(y)=(-\infty;0)[/math].

Пункт №20

Так как при любых действительных значениях переменной имеем [math]|x|\ge{x}[/math], то [math]x-|x|\le{0}[/math] при всех [math]x\in{R}[/math]. Т.е. область определения: [math]D(y)=\varnothing[/math].

Пункт №21

[math]\frac{5x-x^2}{4}\ge{1}[/math]; [math]x^2-5x+4\le{0}[/math]; [math]1\le{x}\le{4}[/math].

Область определения: [math]D(y)=[1;4][/math].

Пункт №22

[math]\sin{x}\gt{0}[/math]; [math]2\pi{n}\lt{x}\lt\pi+2\pi{n}[/math], [math]n\in{Z}[/math].

Область определения: [math]D(y)=\bigcup\limits_{n\in{Z}}\left(2\pi{n};\pi+2\pi{n}\right)[/math].

Пункт №23

[math] \left\{\begin{aligned} &2+\sin{x}\neq{0};\\ &-1\le\frac{2}{2+\sin{x}}\le{1}. \end{aligned}\right. [/math]

Так как [math]-1\le\sin{x}\le{1}[/math], то [math]2+\sin{x}\gt{0}[/math] при любых [math]x\in{R}[/math].

[math]\frac{2}{2+\sin{x}}\le{1}[/math]; [math]\sin{x}\ge{0}[/math]; [math]2\pi{n}\le{x}\le\pi+2\pi{n}[/math], [math]n\in{Z}[/math]

Область определения: [math]D(y)=\bigcup\limits_{n\in{Z}}\left[2\pi{n};\pi+2\pi{n}\right][/math].

Пункт №24

[math]x\gt{0}[/math]; [math]x\neq{1}[/math].

Область определения: [math]D(y)=(0;1)\cup(1;+\infty)[/math].

Ответ

Задача решена.