Задача №1894

Условие

Доказать, что если последовательность \(\left\{a_n\right\}\) является арифметической прогрессией, то при любом \(n\ge{3}\) и любом \(k\in{N}\) справедливо равенство

\[ \begin{equation} a_{1}^{k}-C_{n}^{1}a_{2}^{k}+C_{n}^{2}a_{3}^{k}+\ldots+(-1)^nC_{n}^{n}a_{n+1}^{k}=0 \label{eq:1} \end{equation} \]

Решение

Сразу отмечу, что условие сформулировано неточно. Например, при \(n=2\), \(k=1\) мы получим:

\[ a_{1}^{k}-C_{n}^{1}a_{2}^{k}+C_{n}^{2}a_{3}^{k} =a_1-C_{2}^{1}a_2+C_{2}^{2}a_{3} =a_1-2a_2+a_3=a_1-a_2+a_3-a_2 =-d+d=0. \]

Здесь, равно как и в дальнейшем изложении, \(d\) – разность прогрессии \(\left\{a_n\right\}\). Как видите, пара чисел \(n=2\), \(k=1\) не удовлетворяет условиям задачи, однако же равенство \(\eqref{eq:1}\) для них выполнено. При этом, к примеру, числа \(n=3\), \(k=4\) удовлетворяют условиям задачи, однако же для равенства \(\eqref{eq:1}\) будем иметь:

\[ a_{1}^{k}-C_{n}^{1}a_{2}^{k}+C_{n}^{2}a_{3}^{k}-C_{n}^{3}a_{4}^{k} =a_{1}^{4}-C_{3}^{1}a_{2}^{4}+C_{3}^{2}a_{3}^{4}-C_{3}^{3}a_{4}^{4} =a_{1}^{4}-3a_{2}^{4}+3a_{3}^{4}-a_{4}^{4} \]

Рассматривая, к примеру, прогрессию \(\left\{a_n\right\}\), для которой \(a_1=d=1\), получим:

\[ a_{1}^{4}-3a_{2}^{4}+3a_{3}^{4}-a_{4}^{4} =1^{4}-3\cdot{2}^{4}+3\cdot{3}^{4}-{4}^{4} =-60\neq{0} \]

Как видите, равенство \(\eqref{eq:1}\) не выполнено. Следовательно, условие задачи является некорректным, поэтому будем решать её в изначальном предположении, что \(n\in{N}\). Остальные допущения, если они будут необходимы, сделаем по ходу решения. К слову, это ещё один камешек в огород авторов задачников, не размещающих в своих книгах решений.

Для начала поговорим насчёт степени \(k\). В принципе, равенство \(\eqref{eq:1}\) истинно и при \(k=0\) – при условии того, что \(a_i\neq{0}\), где \(i=\overline{1;\,n+1}\). Если же некоторый член прогрессии \(a_i=0\), то получим выражение \(0^0\), не имеющее смысла. Докажем истинность равенства \(\eqref{eq:1}\) при \(k=0\). Используем бином Ньютона:

\[ (a+b)^n=a^n+C_{n}^{1}a^{n-1}b+\ldots+C_{n}^{k}a^{n-k}b^k+\ldots+C_{n}^{n}b^n \]

Подставляя \(a=1\), \(b=-1\), будем иметь:

\[ \begin{equation} \sum_{i=0}^{n}(-1)^i C_{n}^{i}=0;\;n\ge{1}. \label{eq:2} \end{equation} \]

Формула \(\eqref{eq:2}\) и есть частный случай равенства \(\eqref{eq:1}\) при \(k=0\). В дальнейшем примем \(k\in{N}\). Запишем левую часть равенства \(\eqref{eq:1}\) в ином виде, учитывая при этом равенство \(\eqref{eq:2}\):

\[ \sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}a_{i+1}^{k} =\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}\left(a_1+id\right)^{k} =\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}\left(u_0+u_1i^1+u^2i^2+\ldots+u_ki^k\right)=\\ =u_0\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}+u_1\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i+u_2\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i^2+\ldots+u_k\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i^k=\\ =u_1\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i+u_2\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i^2+\ldots+u_k\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i^k \]

Полученное выражение состоит из слагаемых вида \(u_p\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i^p\), где выражение \(u_p\) не зависит от \(i\). Рассмотрим суммы \(\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i^p\). Если удастся доказать, что все суммы такого вида равны 0, то тем самым будет доказано равенство \(\eqref{eq:1}\). Для начала упомяну простую формулу:

\[ \begin{equation} iC_{n}^{i}=nC_{n-1}^{i-1};\;n\ge{2};\;n\ge{i}. \label{eq:3} \end{equation} \]

С помощью данной формулы получим некоторые предварительные выводы.

\[ \sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i =\sum_{i=1}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i =\sum_{i=1}^{n}(-1)^inC_{n-1}^{i-1} =n\sum_{i=1}^{n}(-1)^iC_{n-1}^{i-1} =-n\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^iC_{n-1}^{i} =0. \]

Формула \(\eqref{eq:2}\), использованная тут, верна при \(n\ge{1}\). Следовательно, равенство \(\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^iC_{n-1}^{i}=0\) истинно при \(n-1\ge{0}\), т.е. \(n\ge{2}\). Впрочем, это же условие можно получить и из того, что формула \(\eqref{eq:3}\) верна при \(n\ge{2}\). Итак,

\[ \begin{equation} \sum_{i=0}^{n}(-1)^i C_{n}^{i}i=0;\;n\ge{2}. \label{eq:4} \end{equation} \]

Рассмотрим ещё парочку равенств, которые позволят сформулировать гипотезу и доказать её методом математической индукции.

\[ \sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i^2 =\sum_{i=1}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i^2 =\sum_{i=1}^{n}(-1)^inC_{n-1}^{i-1}i =n\sum_{i=1}^{n}(-1)^iC_{n-1}^{i-1}i=\\ =-n\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^iC_{n-1}^{i}(i+1) =-n\cdot\left(\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^iC_{n-1}^{i}i+\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^iC_{n-1}^{i}\right) =0. \]

С учётом ограничений, которые имеются в формулах \(\eqref{eq:2}\), \(\eqref{eq:3}\), \(\eqref{eq:4}\), получим:

\[ \left\{\begin{aligned} & n\ge{2};\\ & n-1\ge{1};\\ & n-1\ge{2}.\\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow {n}\ge{3}. \]

Таким образом, можем записать, что

\[ \begin{equation} \sum_{i=0}^{n}(-1)^i C_{n}^{i}i^2=0;\;n\ge{3}. \label{eq:5} \end{equation} \]

В принципе, идея, полагаю, ясна. Аналогичным образом можно получить формулу \(\sum_{i=0}^{n}(-1)^i C_{n}^{i}i^3=0\), верную при \(n\ge{4}\). Механизм доказательства указанных выше формул приводит нас к такой гипотезе:

\[ \begin{equation} \sum_{i=0}^{n}(-1)^i C_{n}^{i}i^p=0;\;n\ge{p+1}. \label{eq:6} \end{equation} \]

Докажем эту гипотезу методом математической индукции по \(p\). При \(p=1\) формула \(\eqref{eq:6}\) верна – это было доказано ранее. Пусть истинны формулы \(\sum_{i=0}^{n}(-1)^i C_{n}^{i}i^t=0\), \(n\ge{t+1}\) при любом \({1}\le{t}\lt{p}\).

\[ \sum_{i=0}^{n}(-1)^i C_{n}^{i}i^p =\sum_{i=1}^{n}(-1)^i C_{n}^{i}i^p =\sum_{i=1}^{n}(-1)^i nC_{n-1}^{i-1}i^{p-1}=\\ =-n\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i C_{n-1}^{i}(i+1)^{p-1} =-n\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i C_{n-1}^{i}\left(i^{p-1}+C_{p-1}^{1}i^{p-2}+C_{p-1}^{2}i^{p-3}+\ldots+1\right)=\\ =-n\cdot\left(\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i C_{n-1}^{i}i^{p-1}+C_{p-1}^{1}\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i C_{n-1}^{i}i^{p-2}+\ldots+\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i C_{n-1}^{i}\right) =0. \]

\[ \left\{\begin{aligned} & n-1\ge{2};\\ & n-1\ge{3};\\ & \ldots\\ & n-1\ge{p}. \end{aligned}\right. \Leftrightarrow {n}\ge{p+1}. \]

Итак, формула \(\eqref{eq:6}\) доказана. Это автоматически доказывает равенство \(\eqref{eq:1}\) при условии \(n\ge{k+1}\).

Ответ:

Равенство истинно при всех \(k\in{N}\), \(n\ge{k+1}\). Равенство также истинно и при \(k=0\), \(n\in{N}\) при том условии, что среди членов арифметической прогрессии не будет равных нулю.

Задачник №2	Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1)
Параграф №4	Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона. Числовые неравенства
Задача №4