004-04-2
Информация о задаче
Задача №4 параграфа №4 "Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона. Числовые неравенства" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).
Условие задачи
Доказать, что если последовательность [math]\left\{a_n\right\}[/math] является арифметической прогрессией, то при любом [math]n\ge{3}[/math] и любом [math]k\in{N}[/math] справедливо равенство
[dmath] \begin{equation} a_{1}^{k}-C_{n}^{1}a_{2}^{k}+C_{n}^{2}a_{3}^{k}+\ldots+(-1)^nC_{n}^{n}a_{n+1}^{k}=0 \label{eq:1} \end{equation} [/dmath]
Решение
Сразу отмечу, что условие сформулировано неточно. Например, при [math]n=2[/math], [math]k=1[/math] мы получим:
[dmath] a_{1}^{k}-C_{n}^{1}a_{2}^{k}+C_{n}^{2}a_{3}^{k} =a_1-C_{2}^{1}a_2+C_{2}^{2}a_{3} =a_1-2a_2+a_3=a_1-a_2+a_3-a_2 =-d+d=0. [/dmath]
Здесь, равно как и в дальнейшем изложении, [math]d[/math] – разность прогрессии [math]\left\{a_n\right\}[/math]. Как видите, пара чисел [math]n=2[/math], [math]k=1[/math] не удовлетворяет условиям задачи, однако же равенство [math]\eqref{eq:1}[/math] для них выполнено. При этом, к примеру, числа [math]n=3[/math], [math]k=4[/math] удовлетворяют условиям задачи, однако же для равенства [math]\eqref{eq:1}[/math] будем иметь:
[dmath] a_{1}^{k}-C_{n}^{1}a_{2}^{k}+C_{n}^{2}a_{3}^{k}-C_{n}^{3}a_{4}^{k} =a_{1}^{4}-C_{3}^{1}a_{2}^{4}+C_{3}^{2}a_{3}^{4}-C_{3}^{3}a_{4}^{4} =a_{1}^{4}-3a_{2}^{4}+3a_{3}^{4}-a_{4}^{4} [/dmath]
Рассматривая, к примеру, прогрессию [math]\left\{a_n\right\}[/math], для которой [math]a_1=d=1[/math], получим:
[dmath] a_{1}^{4}-3a_{2}^{4}+3a_{3}^{4}-a_{4}^{4} =1^{4}-3\cdot{2}^{4}+3\cdot{3}^{4}-{4}^{4} =-60\neq{0} [/dmath]
Как видите, равенство [math]\eqref{eq:1}[/math] не выполнено. Следовательно, условие задачи является некорректным, поэтому будем решать её в изначальном предположении, что [math]n\in{N}[/math]. Остальные допущения, если они будут необходимы, сделаем по ходу решения. К слову, это ещё один камешек в огород авторов задачников, не размещающих в своих книгах решений.
Для начала поговорим насчёт степени [math]k[/math]. В принципе, равенство [math]\eqref{eq:1}[/math] истинно и при [math]k=0[/math] – при условии того, что [math]a_i\neq{0}[/math], где [math]i=\overline{1;\,n+1}[/math]. Если же некоторый член прогрессии [math]a_i=0[/math], то получим выражение [math]0^0[/math], не имеющее смысла. Докажем истинность равенства [math]\eqref{eq:1}[/math] при [math]k=0[/math]. Используем бином Ньютона:
[dmath] (a+b)^n=a^n+C_{n}^{1}a^{n-1}b+\ldots+C_{n}^{k}a^{n-k}b^k+\ldots+C_{n}^{n}b^n [/dmath]
Подставляя [math]a=1[/math], [math]b=-1[/math], будем иметь:
[dmath] \begin{equation} \sum_{i=0}^{n}(-1)^i C_{n}^{i}=0;\;n\ge{1}. \label{eq:2} \end{equation} [/dmath]
Формула [math]\eqref{eq:2}[/math] и есть частный случай равенства [math]\eqref{eq:1}[/math] при [math]k=0[/math]. В дальнейшем примем [math]k\in{N}[/math]. Запишем левую часть равенства [math]\eqref{eq:1}[/math] в ином виде, учитывая при этом равенство [math]\eqref{eq:2}[/math]:
[dmath] \sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}a_{i+1}^{k} =\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}\left(a_1+id\right)^{k} =\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}\left(u_0+u_1i^1+u^2i^2+\ldots+u_ki^k\right)=\\ =u_0\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}+u_1\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i+u_2\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i^2+\ldots+u_k\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i^k=\\ =u_1\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i+u_2\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i^2+\ldots+u_k\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i^k [/dmath]
Полученное выражение состоит из слагаемых вида [math]u_p\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i^p[/math], где выражение [math]u_p[/math] не зависит от [math]i[/math]. Рассмотрим суммы [math]\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i^p[/math]. Если удастся доказать, что все суммы такого вида равны 0, то тем самым будет доказано равенство [math]\eqref{eq:1}[/math]. Для начала упомяну простую формулу:
[dmath] \begin{equation} iC_{n}^{i}=nC_{n-1}^{i-1};\;n\ge{2};\;n\ge{i}. \label{eq:3} \end{equation} [/dmath]
С помощью данной формулы получим некоторые предварительные выводы.
[dmath] \sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i =\sum_{i=1}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i =\sum_{i=1}^{n}(-1)^inC_{n-1}^{i-1} =n\sum_{i=1}^{n}(-1)^iC_{n-1}^{i-1} =-n\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^iC_{n-1}^{i} =0. [/dmath]
Формула [math]\eqref{eq:2}[/math], использованная тут, верна при [math]n\ge{1}[/math]. Следовательно, равенство [math]\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^iC_{n-1}^{i}=0[/math] истинно при [math]n-1\ge{0}[/math], т.е. [math]n\ge{2}[/math]. Впрочем, это же условие можно получить и из того, что формула [math]\eqref{eq:3}[/math] верна при [math]n\ge{2}[/math]. Итак,
[dmath] \begin{equation} \sum_{i=0}^{n}(-1)^i C_{n}^{i}i=0;\;n\ge{2}. \label{eq:4} \end{equation} [/dmath]
Рассмотрим ещё парочку равенств, которые позволят сформулировать гипотезу и доказать её методом математической индукции.
[dmath] \sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i^2 =\sum_{i=1}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i^2 =\sum_{i=1}^{n}(-1)^inC_{n-1}^{i-1}i =n\sum_{i=1}^{n}(-1)^iC_{n-1}^{i-1}i=\\ =-n\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^iC_{n-1}^{i}(i+1) =-n\cdot\left(\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^iC_{n-1}^{i}i+\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^iC_{n-1}^{i}\right) =0. [/dmath]
С учётом ограничений, которые имеются в формулах [math]\eqref{eq:2}[/math], [math]\eqref{eq:3}[/math], [math]\eqref{eq:4}[/math], получим:
[dmath] \left\{\begin{aligned} & n\ge{2};\\ & n-1\ge{1};\\ & n-1\ge{2}.\\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow {n}\ge{3}. [/dmath]
Таким образом, можем записать, что
[dmath] \begin{equation} \sum_{i=0}^{n}(-1)^i C_{n}^{i}i^2=0;\;n\ge{3}. \label{eq:5} \end{equation} [/dmath]
В принципе, идея, полагаю, ясна. Аналогичным образом можно получить формулу [math]\sum_{i=0}^{n}(-1)^i C_{n}^{i}i^3=0[/math], верную при [math]n\ge{4}[/math]. Механизм доказательства указанных выше формул приводит нас к такой гипотезе:
[dmath] \begin{equation} \sum_{i=0}^{n}(-1)^i C_{n}^{i}i^p=0;\;n\ge{p+1}. \label{eq:6} \end{equation} [/dmath]
Докажем эту гипотезу методом математической индукции по [math]p[/math]. При [math]p=1[/math] формула [math]\eqref{eq:6}[/math] верна – это было доказано ранее. Пусть истинны формулы [math]\sum_{i=0}^{n}(-1)^i C_{n}^{i}i^t=0[/math], [math]n\ge{t+1}[/math] при любом [math]{1}\le{t}\lt{p}[/math].
[dmath] \sum_{i=0}^{n}(-1)^i C_{n}^{i}i^p =\sum_{i=1}^{n}(-1)^i C_{n}^{i}i^p =\sum_{i=1}^{n}(-1)^i nC_{n-1}^{i-1}i^{p-1}=\\ =-n\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i C_{n-1}^{i}(i+1)^{p-1} =-n\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i C_{n-1}^{i}\left(i^{p-1}+C_{p-1}^{1}i^{p-2}+C_{p-1}^{2}i^{p-3}+\ldots+1\right)=\\ =-n\cdot\left(\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i C_{n-1}^{i}i^{p-1}+C_{p-1}^{1}\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i C_{n-1}^{i}i^{p-2}+\ldots+\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i C_{n-1}^{i}\right) =0. [/dmath]
[dmath] \left\{\begin{aligned} & n-1\ge{2};\\ & n-1\ge{3};\\ & \ldots\\ & n-1\ge{p}. \end{aligned}\right. \Leftrightarrow {n}\ge{p+1}. [/dmath]
Итак, формула [math]\eqref{eq:6}[/math] доказана. Это автоматически доказывает равенство [math]\eqref{eq:1}[/math] при условии [math]n\ge{k+1}[/math].
Ответ
Равенство истинно при всех [math]k\in{N}[/math], [math]n\ge{k+1}[/math]. Равенство также истинно и при [math]k=0[/math], [math]n\in{N}[/math] при том условии, что среди членов арифметической прогрессии не будет равных нулю.
