004-01-2

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №4 параграфа №1 "Множества. Комбинаторика" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).

Условие задачи

Доказать равенства:

  1. [math]A\backslash\left(A\backslash{B}\right)=A\cap{B}[/math]
  2. [math]\left(A\backslash{B}\right)\cup\left(B\backslash{A}\right)=\left(A\cup{B}\right)\backslash\left(A\cap{B}\right)[/math]
  3. [math]\left(A\backslash{B}\right)\backslash{C}=A\backslash\left(B\cup{C}\right)[/math]
  4. [math]\left(A\backslash{B}\right)\cap{C}=\left(A\cap{C}\right)\backslash\left(B\cap{C}\right)[/math]

Решение

Каждое равенство этой задачи может быть доказано несколькими способами. Однако отмечу, что авторы задачника, насколько я могу судить, предполагают решение лишь одним способом: доказать, что множество в левой части равенства есть подможество множества в правой части, и наоборот. Поэтому в решении каждого пункта этот способ будет первым. Остальные способы решения можете рассматривать на своё усмотрение.

Пункт №1

Первый способ

Пусть [math]x\in{A\backslash\left(A\backslash{B}\right)}[/math], тогда одновременно выполнены условия [math]x\in{A}[/math] и [math]x\notin{A\backslash{B}}[/math]. Предположим, что [math]x\notin{B}[/math]. Тогда ввиду [math]x\in{A}[/math] получим [math]x\in{A\backslash{B}}[/math], что противоречит условию [math]x\notin{A\backslash{B}}[/math]. Вывод: [math]x\in{B}[/math]. Так как [math]x\in{A}[/math] и [math]x\in{B}[/math], то [math]x\in{A\cap{B}}[/math], т.е. [math]A\backslash\left(A\backslash{B}\right)\subset{A\cap{B}}[/math].


Пусть [math]x\in{A\cap{B}}[/math], тогда [math]x\in{A}[/math] и [math]x\in{B}[/math]. Следовательно, [math]x\notin{A\backslash{B}}[/math]. Так как [math]x\in{A}[/math] и [math]x\notin{A\backslash{B}}[/math], то [math]x\in{A\backslash\left(A\backslash{B}\right)}[/math], т.е. [math]A\cap{B}\subset{A\backslash\left(A\backslash{B}\right)}[/math].


Так как [math]A\backslash\left(A\backslash{B}\right)\subset{A\cap{B}}[/math] и [math]A\cap{B}\subset{A\backslash\left(A\backslash{B}\right)}[/math], то [math]A\backslash\left(A\backslash{B}\right)=A\cap{B}[/math].

Второй способ

С помощью равенств с множествами можно левую часть равенства преобразовать к правой. Я не уверен, что данную задачу допустимо решать этим путём, так как, по идее, каждую используемую формулу предварительно надо доказать. В решении дальнейших примеров этот способ задействовать не станем.

[dmath]A\backslash\left(A\backslash{B}\right) =A\cap\overline{A\backslash{B}} =A\cap\overline{A\cap\overline{B}} =A\cap\left(\bar{A}\cup{B}\right) =A\cap\bar{A}\cup{A}\cap{B} =A\cap{B}. [/dmath]

Третий способ

Запишем таблицу принадлежности:

[math]\chi_{A}(x)[/math] [math]\chi_{B}(x)[/math] [math]\chi_{A\backslash{B}}(x)[/math] [math]\chi_{A\backslash\left(A\backslash{B}\right)}(x)[/math] [math]\chi_{A\cap{B}}(x)[/math]
0 0 0 0 0
0 1 0 0 0
1 0 1 0 0
1 1 0 1 1

Совпадение последних двух столбцов говорит о том, что [math]A\backslash\left(A\backslash{B}\right)=A\cap{B}[/math].

Четвёртый способ

Используем характеристические функции. Покажем, что для любого элемента [math]x[/math] характеристическая функция множества в левой части равенства совпадает с характеристической функцией множества в правой части:

[math]\chi_{A\backslash(A\backslash{B})}(x) =\chi_{A}(x)-\chi_{A}(x)\cdot\chi_{A\backslash{B}}(x) =\chi_{A}(x)-\chi_{A}(x)\cdot\left(\chi_{A}(x) - \chi_{A}(x)\cdot\chi_{B}(x) \right)=\\ =\chi_{A}(x) - \chi_{A}^{2}(x)+\chi_{A}^{2}(x)\cdot\chi_{B}(x) =\chi_{A}(x)\cdot\chi_{B}(x) =\chi_{A\cap{B}}(x) [/math]

Равенство доказано.

Пункт №2

Первый способ

Пусть [math]x\in\left(A\backslash{B}\right)\cup\left(B\backslash{A}\right)[/math]. Тогда [math]x\in{A\backslash{B}}[/math] или [math]x\in{B\backslash{A}}[/math]. Если [math]x\in{A\backslash{B}}[/math], то [math]x\in{A}[/math] и [math]x\notin{B}[/math]. Если [math]x\in{B\backslash{A}}[/math], то [math]x\in{B}[/math], [math]x\notin{A}[/math]. В любом из этих двух случаев имеем [math]x\in{A\cup{B}}[/math], [math]x\notin{A\cap{B}}[/math], поэтому [math]x\in\left(A\cup{B}\right)\backslash\left(A\cap{B}\right)[/math]. Это значит, что [math]\left(A\backslash{B}\right)\cup\left(B\backslash{A}\right)\subset\left(A\cup{B}\right)\backslash\left(A\cap{B}\right)[/math].


Пусть [math]x\in\left(A\cup{B}\right)\backslash\left(A\cap{B}\right)[/math], тогда [math]x\in{A\cup{B}}[/math], [math]x\notin{A\cap{B}}[/math]. Так как [math]x\in{A\cup{B}}[/math], то [math]x\in{A}[/math] или [math]x\in{B}[/math]. Если [math]x\in{A}[/math], то из условия [math]x\notin{A\cap{B}}[/math] имеем [math]x\notin{B}[/math], поэтому [math]x\in\left(A\backslash{B}\right)\cup\left(B\backslash{A}\right)[/math]. Аналогично, если [math]x\in{B}[/math], то из условия [math]x\notin{A\cap{B}}[/math] имеем [math]x\notin{A}[/math], поэтому [math]x\in\left(A\backslash{B}\right)\cup\left(B\backslash{A}\right)[/math]. Таким образом, [math]\left(A\cup{B}\right)\backslash\left(A\cap{B}\right)\subset\left(A\backslash{B}\right)\cup\left(B\backslash{A}\right)[/math].


Исходя из вышеизложенного, имеем [math]\left(A\backslash{B}\right)\cup\left(B\backslash{A}\right)=\left(A\cup{B}\right)\backslash\left(A\cap{B}\right)[/math].

Второй способ

Покажем, что характеристические функции левой и правой частей равенства совпадают.

[math] \chi_{\left(A\backslash{B}\right)\cup\left(B\backslash{A}\right)}(x)=\\ =\chi_{A\backslash{B}}(x)+\chi_{B\backslash{A}}(x)-\chi_{A\backslash{B}}(x)\cdot\chi_{B\backslash{A}}(x)=\\ =\chi_{A}(x)-\chi_{A}(x)\cdot\chi_{B}(x)+\chi_{B}(x)-\chi_{B}(x)\cdot\chi_{A}(x)-\left(\chi_{A}(x)-\chi_{A}(x)\chi_{B}(x)\right)\cdot\left(\chi_{B}(x)-\chi_{B}(x)\chi_{A}(x)\right)=\\ =\chi_{A}(x)+\chi_{B}(x)-2\chi_{A}(x)\cdot\chi_{B}(x)-\left(\chi_{A}(x)\chi_{B}(x)-\chi_{A}(x)\chi_{B}(x)-\chi_{A}(x)\chi_{B}(x)+\chi_{A}(x)\chi_{B}(x)\right)=\\ =\chi_{A}(x)+\chi_{B}(x)-2\chi_{A}(x)\cdot\chi_{B}(x) [/math]


[math] \chi_{\left(A\cup{B}\right)\backslash\left(A\cap{B}\right)}(x)=\\ =\chi_{A\cup{B}}(x)-\chi_{A\cup{B}}(x)\cdot\chi_{A\cap{B}}(x)=\\ =\chi_{A}(x)+\chi_{B}(x)-\chi_{A}(x)\cdot\chi_{B}(x)-\left(\chi_{A}(x)+\chi_{B}(x)-\chi_{A}(x)\chi_{B}(x)\right)\cdot\chi_{A}(x)\chi_{B}(x)=\\ =\chi_{A}(x)+\chi_{B}(x)-\chi_{A}(x)\chi_{B}(x)-\left(\chi_{A}(x)\chi_{B}(x)+\chi_{A}(x)\chi_{B}(x)-\chi_{A}(x)\chi_{B}(x)\right)=\\ =\chi_{A}(x)+\chi_{B}(x)-2\chi_{A}(x)\cdot\chi_{B}(x) [/math]


Характеристические функции левой и правой частей равенства совпадают. Следовательно, равенство верно.

Пункт №3

Первый способ

Пусть [math]x\in\left(A\backslash{B}\right)\backslash{C}[/math]. Это значит, что [math]x\in{A\backslash{B}}[/math], [math]x\notin{C}[/math]. Из условия [math]x\in{A\backslash{B}}[/math] имеем [math]x\in{A}[/math], [math]x\notin{B}[/math]. Из условий [math]x\in{A}[/math], [math]x\notin{B}[/math], [math]x\notin{C}[/math] следует [math]x\in{A\backslash\left(B\cup{C}\right)}[/math]. Таким образом, [math]\left(A\backslash{B}\right)\backslash{C}\subset{A\backslash\left(B\cup{C}\right)}[/math].


Пусть [math]x\in{A\backslash\left(B\cup{C}\right)}[/math]. Это значит, что [math]x\in{A}[/math], [math]x\notin{B\cup{C}}[/math]. Из условия [math]x\notin{B\cup{C}}[/math] имеем [math]x\notin{B}[/math], [math]x\notin{C}[/math]. Из условий [math]x\in{A}[/math], [math]x\notin{B}[/math], [math]x\notin{C}[/math] получаем [math]x\in\left(A\backslash{B}\right)\backslash{C}[/math]. Следовательно, [math]A\backslash\left(B\cup{C}\right)\subset\left(A\backslash{B}\right)\backslash{C}[/math].


Из вышеизложенного имеем [math]\left(A\backslash{B}\right)\backslash{C}=A\backslash\left(B\cup{C}\right)[/math].

Второй способ

Составим таблицу принадлежности:

[math]\chi_{A}(x)[/math] [math]\chi_{B}(x)[/math] [math]\chi_{C}(x)[/math] [math]\chi_{A\backslash{B}}(x)[/math] [math]\chi_{\left(A\backslash{B}\right)\backslash{C}}(x)[/math] [math]\chi_{B\cup{C}}(x)[/math] [math]\chi_{A\backslash\left(B\cup{C}\right)}(x)[/math]
0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1 0
0 1 1 0 0 1 0
1 0 0 1 1 0 1
1 0 1 1 0 1 0
1 1 0 0 0 1 0
1 1 1 0 0 1 0

Совпадение соответствующих столбцов говорит о том, что равенство верно.

Пункт №4

Первый способ

Пусть [math]x\in\left(A\backslash{B}\right)\cap{C}[/math]. Это значит, что [math]x\in{A\backslash{B}}[/math], [math]x\in{C}[/math]. Из условия [math]x\in{A\backslash{B}}[/math] имеем [math]x\in{A}[/math], [math]x\notin{B}[/math]. Из условий [math]x\in{A}[/math], [math]x\notin{B}[/math], [math]x\in{C}[/math] имеем [math]x\in\left(A\cap{C}\right)\backslash\left(B\cap{C}\right)[/math]. Таким образом, [math]\left(A\backslash{B}\right)\cap{C}\subset\left(A\cap{C}\right)\backslash\left(B\cap{C}\right)[/math].


Пусть [math]x\in\left(A\cap{C}\right)\backslash\left(B\cap{C}\right)[/math]. Это значит, что [math]x\in{A\cap{C}}[/math], [math]x\notin{B\cap{C}}[/math]. Так как [math]x\in{A\cap{C}}[/math], то [math]x\in{A}[/math], [math]x\in{C}[/math]. Так как [math]x\notin{B\cap{C}}[/math] и [math]x\in{C}[/math], то [math]x\notin{B}[/math]. Итак, [math]x\in{A}[/math], [math]x\notin{B}[/math], [math]x\in{C}[/math], то [math]x\in\left(A\backslash{B}\right)\cap{C}[/math]. Итак, [math]\left(A\cap{C}\right)\backslash\left(B\cap{C}\right)\subset\left(A\backslash{B}\right)\cap{C}[/math].


Исходя из вышеизложенного, имеем [math]\left(A\backslash{B}\right)\cap{C}=\left(A\cap{C}\right)\backslash\left(B\cap{C}\right)[/math].

Второй способ

Составим таблицу принадлежности:

[math]\chi_{A}(x)[/math] [math]\chi_{B}(x)[/math] [math]\chi_{C}(x)[/math] [math]\chi_{A\backslash{B}}(x)[/math] [math]\chi_{\left(A\backslash{B}\right)\cap{C}}(x)[/math] [math]\chi_{A\cap{C}}(x)[/math] [math]\chi_{B\cap{C}}(x)[/math] [math]\chi_{\left(A\cap{C}\right)\backslash\left(B\cap{C}\right)}(x)[/math]
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 1 0
1 0 0 1 0 0 0 0
1 0 1 1 1 1 0 1
1 1 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 0 1 1 0

Совпадение соответствующих столбцов говорит о том, что равенство верно.

Ответ

Все равенства доказаны.