0037-1

Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №37 параграфа №1 главы №1 "Функции" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Доказать справедливость следующего способа построения графика сложной функции [math]y=f\left(\varphi(x)\right)=F(x)[/math] по известным графикам составляющих функций: [math]y=f(x)[/math] и [math]y=\varphi(x)[/math]. Из точки [math]A[/math] графика функции [math]\varphi(x)[/math], соответствующей данному значению независимой переменной [math]x[/math], проводится прямая, параллельная оси [math]Ox[/math], до пересечения в точке [math]B[/math] с биссектрисой первого и третьего координатных углов; из точки [math]B[/math] проводится прямая, параллельная оси [math]Oy[/math], до пересечения с графиком функции [math]f(x)[/math] в точке [math]C[/math]. Если из точки [math]C[/math] провести прямую, параллельную оси [math]Ox[/math], то точка [math]D[/math] её пересечения с прямой [math]NN'[/math] будет точкой графика [math]F(x)[/math], соответствующей взятому значению [math]x[/math].


0037-1.png

Решение

Для доказательства достаточно последовательно рассмотреть координаты получаемых точек. С целью сокращения изложения обозначим координаты заданных точек следующим образом: [math]A\left(x_A;y_A\right)[/math], [math]B\left(x_B;y_B\right)[/math], [math]C\left(x_C;y_C\right)[/math], [math]D\left(x_D;y_D\right)[/math].

Для точки [math]A[/math] имеем: [math]x_A=x[/math], [math]y_A=\varphi(x)[/math].

Так как [math]AB||Ox[/math], то [math]y_B=y_A=\varphi(x)[/math]. При этом точка [math]B[/math] лежит на прямой [math]y=x[/math], т.е. [math]x_B=y_B=\varphi(x)[/math]. Таким образом, имеем [math]B\left(\varphi(x);\varphi(x)\right)[/math].

Далее, так как [math]BC||Oy[/math], то [math]x_C=x_B=\varphi(x)[/math]. При этом, ввиду того, что точка [math]C[/math] принадлежит графику функции [math]y=f(x)[/math], имеем [math]y_C=f\left(x_C\right)=f\left(\varphi(x)\right)[/math]. Итак, [math]C\left(\varphi(x); f\left(\varphi(x)\right)\right)[/math].

Так как [math]CD||Ox[/math] и [math]NN'||Oy[/math], то [math]x_D=x_A=x[/math], [math]y_D=y_C=f\left(\varphi(x)\right)[/math].

Соответственно, точка [math]D[/math] имеет такие координаты: [math]D\left(x; f\left(\varphi(x)\right)\right)[/math], т.е. точка [math]D[/math] принадлежит графику функции [math]F(x)[/math].

Ответ

Утверждение доказано.

Заметили ошибку, опечатку, или неправильно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).