Задача №1023
Доказать справедливость следующего способа построения графика сложной функции \(y=f\left(\varphi(x)\right)=F(x)\) по известным графикам составляющих функций: \(y=f(x)\) и \(y=\varphi(x)\). Из точки \(A\) графика функции \(\varphi(x)\), соответствующей данному значению независимой переменной \(x\), проводится прямая, параллельная оси \(Ox\), до пересечения в точке \(B\) с биссектрисой первого и третьего координатных углов; из точки \(B\) проводится прямая, параллельная оси \(Oy\), до пересечения с графиком функции \(f(x)\) в точке \(C\). Если из точки \(C\) провести прямую, параллельную оси \(Ox\), то точка \(D\) её пересечения с прямой \(NN'\) будет точкой графика \(F(x)\), соответствующей взятому значению \(x\).
Для доказательства достаточно последовательно рассмотреть координаты получаемых точек. С целью сокращения изложения обозначим координаты заданных точек следующим образом: \(A\left(x_A;y_A\right)\), \(B\left(x_B;y_B\right)\), \(C\left(x_C;y_C\right)\), \(D\left(x_D;y_D\right)\).
Для точки \(A\) имеем: \(x_A=x\), \(y_A=\varphi(x)\).
Так как \(AB||Ox\), то \(y_B=y_A=\varphi(x)\). При этом точка \(B\) лежит на прямой \(y=x\), т.е. \(x_B=y_B=\varphi(x)\). Таким образом, имеем \(B\left(\varphi(x);\varphi(x)\right)\).
Далее, так как \(BC||Oy\), то \(x_C=x_B=\varphi(x)\). При этом, ввиду того, что точка \(C\) принадлежит графику функции \(y=f(x)\), имеем \(y_C=f\left(x_C\right)=f\left(\varphi(x)\right)\). Итак, \(C\left(\varphi(x); f\left(\varphi(x)\right)\right)\).
Так как \(CD||Ox\) и \(NN'||Oy\), то \(x_D=x_A=x\), \(y_D=y_C=f\left(\varphi(x)\right)\).
Соответственно, точка \(D\) имеет такие координаты: \(D\left(x; f\left(\varphi(x)\right)\right)\), т.е. точка \(D\) принадлежит графику функции \(F(x)\).
Утверждение доказано.