Задача №1912
Условие
Для каждого числа \(\varepsilon\gt{0}\) найти такое число \(\delta\gt{0}\), при котором из неравенств \(0\lt|x-1|\lt\delta\) следует неравенство \(\left|\frac{3x^2-4x+1}{x-1}-2\right|\lt\varepsilon\).
Решение
Обозначим \(f(x)=\frac{3x^2-4x+1}{x-1}\). Из условия \(0\lt|x-1|\lt\delta\) имеем \(x\neq{1}\).
\[
\left|\frac{3x^2-4x+1}{x-1}-2\right|
=\left|\frac{(3x-1)(x-1)}{x-1}-2\right|
=3\cdot|x-1|
\]
Таким образом, неравенство \(|f(x)-2|\lt\varepsilon\) равносильно неравенству \(|x-1|\lt\frac{\varepsilon}{3}\). Значит, чтобы из неравенств \(0\lt|x-1|\lt\delta\) следовало неравенство \(|f(x)-2|\lt\varepsilon\), нужно, чтобы значение \(\delta\) не превосходило \(\frac{\varepsilon}{3}\), т.е. \(\delta\le\frac{\varepsilon}{3}\).
Ответ:
\(\delta\le\frac{\varepsilon}{3}\)