003-04-2
Информация о задаче
Задача №3 параграфа №4 "Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона. Числовые неравенства" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).
Условие задачи
Пусть [math]S_n[/math] – сумма первых [math]n[/math] членов арифметической прогрессии. Доказать, что:
- [math]S_{n+3}=3S_{n+2}-3S_{n+1}+S_n[/math];
- [math]S_{3n}=3\left(S_{2n}-S_n\right)[/math].
Решение
Пункт №1
Так как [math]S_{n+2}=S_{n+1}+a_{n+2}[/math] и [math]2a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n+3}[/math], то получим:
[dmath] 3S_{n+2}-3S_{n+1}+S_n =3S_{n+1}+3a_{n+2}-3S_{n+1}+S_n =S_n+2a_{n+2}+a_{n+2} =S_n+a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3} =S_{n+3} [/dmath]
Пункт №2
Пусть [math]d[/math] – разность этой прогрессии.
[dmath] S_{3n}-3\cdot\left(S_{2n}-S_n\right) =\frac{a_1+a_{3n}}{2}\cdot{3n}-3\cdot\left(\frac{a_1+a_{2n}}{2}\cdot{2n}-\frac{a_1+a_n}{2}\cdot{n}\right)=\\ =\frac{3n}{2}\cdot\left(a_1+a_{3n}-2a_1-2a_{2n}+a_1+a_n\right) =\frac{3n}{2}\cdot\left(a_{3n}-2a_{2n}+a_n\right) =\frac{3n}{2}\cdot\left(a_1+d(3n-1)-2a_1-2d(2n-1)+a_1+d(n-1)\right) =0. [/dmath]
Так как [math]S_{3n}-3\cdot\left(S_{2n}-S_n\right)=0[/math], то [math]S_{3n}=3\left(S_{2n}-S_n\right)[/math].
В принципе, тут можно решить и по-иному: такие задачи имеют много способов решений. Выведем пару несложных формул:
[dmath] \begin{aligned} & a_{n+i}=a_1+d(n+i-1)=a_1+d(i-1)+dn=a_i+dn\\ & a_{n+i}=a_1+d(n+i-1)=a_1+d(2n+i-1)-dn=a_{2n+i}-dn \end{aligned} [/dmath]
Применяя данные формулы, получим:
[dmath] 3\left(S_{2n}-S_n\right) =3\sum_{i=1}^{n}a_{n+i} =\sum_{i=1}^{n}a_{n+i}+\sum_{i=1}^{n}a_{n+i}+\sum_{i=1}^{n}a_{n+i}=\\ =\sum_{i=1}^{n}\left(a_i+dn\right)+\sum_{i=1}^{n}a_{n+i}+\sum_{i=1}^{n}\left(a_{2n+i}-dn\right) =\sum_{i=1}^{n}a_i+\sum_{i=1}^{n}a_{n+i}+\sum_{i=1}^{n}a_{2n+i} =S_{3n}. [/dmath]
Ответ
Оба равенства доказаны.
