Задача №1865

Первый способ

Докажем, что при \(A\backslash\left(B\backslash{C}\right)=\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}\) имеем \(C\subset{A}\).

Пусть это не так, т.е. множество \(C\) не является подмножеством множества \(A\). Тогда существует элемент \(x\in{C}\) такой, что \(x\notin{A}\). Ввиду того, что \(x\notin{A}\), получим, что \(x\notin{A\backslash\left(B\backslash{C}\right)}\). Однако из условия \(x\in{C}\) имеем \(x\in{\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}}\), т.е. равенство \(A\backslash\left(B\backslash{C}\right)=\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}\) будет нарушено. Это говорит о том, что сделанное допущение неверно, т.е. \(C\subset{A}\).

Докажем, что при условии \(C\subset{A}\) верно равенство \(A\backslash\left(B\backslash{C}\right)=\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}\).

Пусть \(x\in{A\backslash\left(B\backslash{C}\right)}\). Это значит, что \(x\in{A}\) и \(x\notin{B\backslash{C}}\). Однако условие \(x\notin{B\backslash{C}}\) может быть выполнено всего в двух случаях: \(x\notin{B}\) или \(x\in{B}\) и \(x\in{C}\). Таким образом, если \(x\in{A\backslash\left(B\backslash{C}\right)}\), то выполнено какое-либо из двух условий:

1. \(x\in{A}\), \(x\notin{B}\)
2. \(x\in{A}\), \(x\in{B}\), \(x\in{C}\)

При выполнении условия №1 имеем, что \(x\in{A\backslash{B}}\), поэтому \(x\in{\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}}\). При выполнении условия №2 имеем \(x\in{C}\), что означает \(x\in{\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}}\). Таким образом \(A\backslash\left(B\backslash{C}\right)\subset\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}\).

Пусть теперь \(x\in{\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}}\). Это значит, что \(x\in{A\backslash{B}}\) или \(x\in{C}\).

Если \(x\in{A\backslash{B}}\), то \(x\in{A}\) и \(x\notin{B}\). Так как \(x\notin{B}\), то \(x\notin{B\backslash{C}}\), поэтому \(x\in{A\backslash\left(B\backslash{C}\right)}\).

Если \(x\in{C}\), то с учётом \(C\subset{A}\) имеем \(x\in{A}\). Так как \(x\in{C}\), в любом случае (\(x\in{B}\) или \(x\notin{B}\)) имеем \(x\notin{B\backslash{C}}\). Ввиду \(x\in{A}\) имеем, что \(x\in{A\backslash\left(B\backslash{C}\right)}\), т.е. \(\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}\subset{A\backslash\left(B\backslash{C}\right)}\).

Из условий \(A\backslash\left(B\backslash{C}\right)\subset\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}\) и \(\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}\subset{A\backslash\left(B\backslash{C}\right)}\) имеем \(A\backslash\left(B\backslash{C}\right)=\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}\).

Второй способ

Пусть \(\chi_{A}\), \(\chi_{B}\) и \(\chi_{C}\) – характеристические функции множеств \(A\), \(B\) и \(C\) соответственно. Рассмотрим такие предикаты:

Покажем, что предикат \(R=\left(A_1\leftrightarrow{A_2}\right)\leftrightarrow{A_3}\) будет истинным на всех восьми наборах \(\left(\chi_{A}(x);\;\chi_{B}(x);\;\chi_{C}(x)\right)\).

Следовательно, предикат \(R\) является тождественно истинным. Это значит, что равенство \(A\backslash\left(B\backslash{C}\right)=\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}\) верно тогда и только тогда, когда \(C\subset{A}\).