003-01-2
Информация о задаче
Задача №3 параграфа №1 "Множества. Комбинаторика" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).
Условие задачи
Доказать, что равенство [math]A\backslash\left(B\backslash{C}\right)=\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}[/math] верно тогда и только тогда, когда [math]C\subset{A}[/math].
Решение
Первый способ
Докажем, что при [math]A\backslash\left(B\backslash{C}\right)=\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}[/math] имеем [math]C\subset{A}[/math].
Пусть это не так, т.е. множество [math]C[/math] не является подмножеством множества [math]A[/math]. Тогда существует элемент [math]x\in{C}[/math] такой, что [math]x\notin{A}[/math]. Ввиду того, что [math]x\notin{A}[/math], получим, что [math]x\notin{A\backslash\left(B\backslash{C}\right)}[/math]. Однако из условия [math]x\in{C}[/math] имеем [math]x\in{\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}}[/math], т.е. равенство [math]A\backslash\left(B\backslash{C}\right)=\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}[/math] будет нарушено. Это говорит о том, что сделанное допущение неверно, т.е. [math]C\subset{A}[/math].
Докажем, что при условии [math]C\subset{A}[/math] верно равенство [math]A\backslash\left(B\backslash{C}\right)=\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}[/math].
Пусть [math]x\in{A\backslash\left(B\backslash{C}\right)}[/math]. Это значит, что [math]x\in{A}[/math] и [math]x\notin{B\backslash{C}}[/math]. Однако условие [math]x\notin{B\backslash{C}}[/math] может быть выполнено всего в двух случаях: [math]x\notin{B}[/math] или [math]x\in{B}[/math] и [math]x\in{C}[/math]. Таким образом, если [math]x\in{A\backslash\left(B\backslash{C}\right)}[/math], то выполнено какое-либо из двух условий:
- [math]x\in{A}[/math], [math]x\notin{B}[/math]
- [math]x\in{A}[/math], [math]x\in{B}[/math], [math]x\in{C}[/math]
При выполнении условия №1 имеем, что [math]x\in{A\backslash{B}}[/math], поэтому [math]x\in{\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}}[/math]. При выполнении условия №2 имеем [math]x\in{C}[/math], что означает [math]x\in{\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}}[/math]. Таким образом [math]A\backslash\left(B\backslash{C}\right)\subset\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}[/math].
Пусть теперь [math]x\in{\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}}[/math]. Это значит, что [math]x\in{A\backslash{B}}[/math] или [math]x\in{C}[/math].
Если [math]x\in{A\backslash{B}}[/math], то [math]x\in{A}[/math] и [math]x\notin{B}[/math]. Так как [math]x\notin{B}[/math], то [math]x\notin{B\backslash{C}}[/math], поэтому [math]x\in{A\backslash\left(B\backslash{C}\right)}[/math].
Если [math]x\in{C}[/math], то с учётом [math]C\subset{A}[/math] имеем [math]x\in{A}[/math]. Так как [math]x\in{C}[/math], в любом случае ([math]x\in{B}[/math] или [math]x\notin{B}[/math]) имеем [math]x\notin{B\backslash{C}}[/math]. Ввиду [math]x\in{A}[/math] имеем, что [math]x\in{A\backslash\left(B\backslash{C}\right)}[/math], т.е. [math]\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}\subset{A\backslash\left(B\backslash{C}\right)}[/math].
Из условий [math]A\backslash\left(B\backslash{C}\right)\subset\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}[/math] и [math]\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}\subset{A\backslash\left(B\backslash{C}\right)}[/math] имеем [math]A\backslash\left(B\backslash{C}\right)=\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}[/math].
Второй способ
Пусть [math]\chi_{A}[/math], [math]\chi_{B}[/math] и [math]\chi_{C}[/math] – характеристические функции множеств [math]A[/math], [math]B[/math] и [math]C[/math] соответственно. Рассмотрим такие предикаты:
[dmath] \begin{aligned} & A_1=\chi_{A}(x)\wedge\neg\left(\chi_{B}(x)\wedge\neg\chi_{C}(x)\right);\\ & A_2=\left(\chi_{A}(x)\wedge\neg\chi_{B}(x)\right)\vee\chi_{C}(x);\\ & A_3=\chi_{C}(x)\rightarrow\chi_{A}(x). \end{aligned} [/dmath]
Покажем, что предикат [math]R=\left(A_1\leftrightarrow{A_2}\right)\leftrightarrow{A_3}[/math] будет истинным на всех восьми наборах [math]\left(\chi_{A}(x);\;\chi_{B}(x);\;\chi_{C}(x)\right)[/math].
| [math]\chi_{A}(x)[/math] | [math]\chi_{B}(x)[/math] | [math]\chi_{C}(x)[/math] | [math]\chi_{B}(x)\wedge\neg\chi_{C}(x)[/math] | [math]A_1[/math] | [math]\chi_{A}(x)\wedge\neg\chi_{B}(x)[/math] | [math]A_2[/math] | [math]A_1\leftrightarrow{A_2}[/math] | [math]A_3[/math] | [math]R[/math] |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Следовательно, предикат [math]R[/math] является тождественно истинным. Это значит, что равенство [math]A\backslash\left(B\backslash{C}\right)=\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}[/math] верно тогда и только тогда, когда [math]C\subset{A}[/math].
Ответ
Утверждение доказано.
