Задача №1021

Рассмотрим три вспомогательных тождества. Выясним, при каком значении константы \(k\) для всех \(x\in{R}\) будет выполнено тождество

При \(k=1\) тождество \(\eqref{eq:1}\) истинно. Предположим, что оно истинно и при некоем значении \(k\neq{1}\). Тогда подставляя \(x=\frac{\pi}{2}\) в тождество \(\eqref{eq:1}\) получим равенство \(k\cdot{1}=1\), т.е. \(k=1\), что противоречит предположению \(k\neq{1}\). Итак, тождество \(\eqref{eq:1}\) выполнено только при \(k=1\).

Перейдём ко второму тождеству: выясним, при каких значениях констант \(a\) и \(b\) для всех \(x\in{R}\) выполняется тождество

То, что \(a\neq{0}\) и \(b\neq{0}\), вполне очевидно. Если бы хоть одно из этих условий было выполнено, то тождество \(\eqref{eq:2}\) стало бы таким: \(\sin{x}\equiv{0}\), что, очевидно, неверно.

Так как тождество \(\eqref{eq:2}\) выполняется при всех \(x\in{R}\), то подставляя \(x=\pi\), получим:

Подставляя \(x=\frac{\pi}{b}\) в тождество \(\eqref{eq:2}\), получим:

Таким образом, из истинности тождества \(\eqref{eq:2}\) следует существование значений \(k_1\) и \(k_2\) из множества \(Z\backslash\{0\}\), для которых будет верно равенство \(k_1=\frac{1}{k_2}\), т.е. \(k_1k_2=1\). Из этого равенства имеем, что параметры \(k_1\) и \(k_2\) либо оба положительны, либо же оба отрицательны. Равенство \(k_1k_2=1\) при положительных значениях параметров возможно лишь при условии \(k_1=k_2=1\). В самом деле, если хоть один из параметров больше 1, то \(k_1k_2\gt{1}\). Для отрицательных значений параметров \(k_1\), \(k_2\) равенство \(k_1k_2=1\) выполнено лишь при \(k_1=k_2=-1\). Если хоть один из параметров меньше, чем -1, то \(k_1k_2\gt{1}\).

Это значит, что для параметра \(b\) имеем лишь два возможных значения: \(b=-1\) или \(b=1\). Рассмотрим оба случая. Если \(b=-1\), то \(-a\sin{x}\equiv\sin{x}\), откуда согласно ранее доказанному утверждению для тождества \(\eqref{eq:1}\) имеем \(-a=1\), \(a=-1\). Если \(b=1\), то \(a\sin{x}\equiv\sin{x}\), откуда имеем \(a=1\). Итак, тождество \(\eqref{eq:2}\) выполнено в двух случаях: \(a=-1\), \(b=-1\) или \(a=1\), \(b=1\).

Наконец, перейдём к рассмотрению третьего тождества:

Очевидно, что \(a\neq{0}\). Подставляя \(x=0\), получим \(a\sin{c}=0\), \(\sin{c}=0\), откуда \(c=\pi{t}\), \(t\in{Z}\). При чётных значениях \(t\), т.е. при \(c=2\pi{k}\), тождество \(\eqref{eq:3}\) примет вид \(a\sin{bx}\equiv\sin{x}\). Согласно ранее доказанным условиям, при которых выполнено тождество \(\eqref{eq:2}\), получим: \(a=-1\), \(b=-1\) или \(a=1\), \(b=1\). При нечётных значениях \(t\), т.е. при \(c=(2k+1)\pi\) с учётом равенства \(\sin(\pi+x)=-\sin{x}\), получим \(-a\sin{bx}\equiv\sin{x}\). Отсюда имеем \(a=1\), \(b=-1\) или \(a=-1\), \(b=1\). Итак, тождество \(\eqref{eq:3}\) выполнено в четырёх случаях:

1. \(a=-1\); \(b=-1\); \(c=2\pi{k},\;(k\in{Z})\).
2. \(a=1\); \(b=1\); \(c=2\pi{k},\;(k\in{Z})\).
3. \(a=1\); \(b=-1\); \(c=(2k+1)\pi,\;(k\in{Z})\).
4. \(a=-1\); \(b=1\); \(c=(2k+1)\pi,\;(k\in{Z})\).

Теперь перейдём непосредственно к решению задачи.

Итак, тождество \(f(x+1)-f(x)\equiv\sin{x}\) равносильно такому тождеству:

Согласно результатам, которые были получены при рассмотрении тождества \(\eqref{eq:3}\), есть 4 случая, при которых тождество \(\eqref{eq:4}\) будет истинным. Разберём здесь первый случай, так как остальные рассматриваются аналогично.

В остальных случаях получим такие результаты: