0029-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №29 параграфа №1 главы №1 "Функции" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Пусть [math]f(x)=a\cos(bx+c)[/math]. При каких значениях постоянных [math]a[/math], [math]b[/math] и [math]c[/math] выполняется тождество [math]f(x+1)-f(x)\equiv\sin{x}[/math].

Решение

Рассмотрим три вспомогательных тождества. Выясним, при каком значении константы [math]k[/math] для всех [math]x\in{R}[/math] будет выполнено тождество

[dmath] \begin{equation} k\sin{x}\equiv\sin{x} \label{eq:1} \end{equation} [/dmath]

При [math]k=1[/math] тождество [math]\eqref{eq:1}[/math] истинно. Предположим, что оно истинно и при некоем значении [math]k\neq{1}[/math]. Тогда подставляя [math]x=\frac{\pi}{2}[/math] в тождество [math]\eqref{eq:1}[/math] получим равенство [math]k\cdot{1}=1[/math], т.е. [math]k=1[/math], что противоречит предположению [math]k\neq{1}[/math]. Итак, тождество [math]\eqref{eq:1}[/math] выполнено только при [math]k=1[/math].

Перейдём ко второму тождеству: выясним, при каких значениях констант [math]a[/math] и [math]b[/math] для всех [math]x\in{R}[/math] выполняется тождество

[dmath] \begin{equation} a\sin{bx}\equiv\sin{x} \label{eq:2} \end{equation} [/dmath]

То, что [math]a\neq{0}[/math] и [math]b\neq{0}[/math], вполне очевидно. Если бы хоть одно из этих условий было выполнено, то тождество [math]\eqref{eq:2}[/math] стало бы таким: [math]\sin{x}\equiv{0}[/math], что, очевидно, неверно.

Так как тождество [math]\eqref{eq:2}[/math] выполняется при всех [math]x\in{R}[/math], то подставляя [math]x=\pi[/math], получим:

[dmath] a\sin{\pi{b}}=\sin\pi;\;\sin\pi{b}=0;\;\pi{b}=\pi{k_1};\;b=k_1;\;k_1\in{Z}\backslash\{0\}. [/dmath]

Подставляя [math]x=\frac{\pi}{b}[/math] в тождество [math]\eqref{eq:2}[/math], получим:

[dmath] a\sin{\pi}=\sin\frac{\pi}{b};\;\sin\frac{\pi}{b}=0;\;\frac{\pi}{b}=\pi{k_2};\;b=\frac{1}{k_2};\;k_2\in{Z}\backslash\{0\}. [/dmath]

Таким образом, из истинности тождества [math]\eqref{eq:2}[/math] следует существование значений [math]k_1[/math] и [math]k_2[/math] из множества [math]Z\backslash\{0\}[/math], для которых будет верно равенство [math]k_1=\frac{1}{k_2}[/math], т.е. [math]k_1k_2=1[/math]. Из этого равенства имеем, что параметры [math]k_1[/math] и [math]k_2[/math] либо оба положительны, либо же оба отрицательны. Равенство [math]k_1k_2=1[/math] при положительных значениях параметров возможно лишь при условии [math]k_1=k_2=1[/math]. В самом деле, если хоть один из параметров больше 1, то [math]k_1k_2\gt{1}[/math]. Для отрицательных значений параметров [math]k_1[/math], [math]k_2[/math] равенство [math]k_1k_2=1[/math] выполнено лишь при [math]k_1=k_2=-1[/math]. Если хоть один из параметров меньше, чем -1, то [math]k_1k_2\gt{1}[/math].

Это значит, что для параметра [math]b[/math] имеем лишь два возможных значения: [math]b=-1[/math] или [math]b=1[/math]. Рассмотрим оба случая. Если [math]b=-1[/math], то [math]-a\sin{x}\equiv\sin{x}[/math], откуда согласно ранее доказанному утверждению для тождества [math]\eqref{eq:1}[/math] имеем [math]-a=1[/math], [math]a=-1[/math]. Если [math]b=1[/math], то [math]a\sin{x}\equiv\sin{x}[/math], откуда имеем [math]a=1[/math]. Итак, тождество [math]\eqref{eq:2}[/math] выполнено в двух случаях: [math]a=-1[/math], [math]b=-1[/math] или [math]a=1[/math], [math]b=1[/math].

Наконец, перейдём к рассмотрению третьего тождества:

[dmath] \begin{equation} a\sin(bx+c)\equiv\sin{x} \label{eq:3} \end{equation} [/dmath]

Очевидно, что [math]a\neq{0}[/math]. Подставляя [math]x=0[/math], получим [math]a\sin{c}=0[/math], [math]\sin{c}=0[/math], откуда [math]c=\pi{t}[/math], [math]t\in{Z}[/math]. При чётных значениях [math]t[/math], т.е. при [math]c=2\pi{k}[/math], тождество [math]\eqref{eq:3}[/math] примет вид [math]a\sin{bx}\equiv\sin{x}[/math]. Согласно ранее доказанным условиям, при которых выполнено тождество [math]\eqref{eq:2}[/math], получим: [math]a=-1[/math], [math]b=-1[/math] или [math]a=1[/math], [math]b=1[/math]. При нечётных значениях [math]t[/math], т.е. при [math]c=(2k+1)\pi[/math] с учётом равенства [math]\sin(\pi+x)=-\sin{x}[/math], получим [math]-a\sin{bx}\equiv\sin{x}[/math]. Отсюда имеем [math]a=1[/math], [math]b=-1[/math] или [math]a=-1[/math], [math]b=1[/math]. Итак, тождество [math]\eqref{eq:3}[/math] выполнено в четырёх случаях:

  1. [math]a=-1[/math]; [math]b=-1[/math]; [math]c=2\pi{k},\;(k\in{Z})[/math].
  2. [math]a=1[/math]; [math]b=1[/math]; [math]c=2\pi{k},\;(k\in{Z})[/math].
  3. [math]a=1[/math]; [math]b=-1[/math]; [math]c=(2k+1)\pi,\;(k\in{Z})[/math].
  4. [math]a=-1[/math]; [math]b=1[/math]; [math]c=(2k+1)\pi,\;(k\in{Z})[/math].


Теперь перейдём непосредственно к решению задачи.

[dmath] f(x+1)-f(x) =a\cos(bx+b+c)-a\cos(bx+c) =-2a\sin\frac{b}{2}\cdot\sin\left(bx+c+\frac{b}{2}\right) [/dmath]

Итак, тождество [math]f(x+1)-f(x)\equiv\sin{x}[/math] равносильно такому тождеству:

[dmath] \begin{equation} -2a\sin\frac{b}{2}\cdot\sin\left(bx+c+\frac{b}{2}\right)\equiv\sin{x} \label{eq:4} \end{equation} [/dmath]

Согласно результатам, которые были получены при рассмотрении тождества [math]\eqref{eq:3}[/math], есть 4 случая, при которых тождество [math]\eqref{eq:4}[/math] будет истинным. Разберём здесь первый случай, так как остальные рассматриваются аналогично.

[dmath] \begin{aligned} & -2a\sin\frac{b}{2}=-1;\;b=-1;\;c+\frac{b}{2}=2\pi{k}.\\ & a=-\frac{1}{2\sin\frac{1}{2}};\;b=-1;\;c=\frac{1}{2}+2\pi{k}. \end{aligned} [/dmath]

В остальных случаях получим такие результаты:

[dmath] \begin{aligned} & a=-\frac{1}{2\sin\frac{1}{2}};\;b=1;\;c=-\frac{1}{2}+2\pi{k}.\\ & a=\frac{1}{2\sin\frac{1}{2}};\;b=-1;\;c=\frac{1}{2}+(2k+1)\pi.\\ & a=\frac{1}{2\sin\frac{1}{2}};\;b=1;\;c=-\frac{1}{2}+(2k+1)\pi. \end{aligned} [/dmath]

Ответ

  1. [math]a=-\frac{1}{2\sin\frac{1}{2}};\;b=-1;\;c=\frac{1}{2}+2\pi{k}.[/math]
  2. [math]a=-\frac{1}{2\sin\frac{1}{2}};\;b=1;\;c=-\frac{1}{2}+2\pi{k}.[/math]
  3. [math]a=\frac{1}{2\sin\frac{1}{2}};\;b=-1;\;c=\frac{1}{2}+(2k+1)\pi.[/math]
  4. [math]a=\frac{1}{2\sin\frac{1}{2}};\;b=1;\;c=-\frac{1}{2}+(2k+1)\pi.[/math]