Задача №1019
Условие
\(f(x)=x+1\), \(\varphi(x)=x-2\). Решить уравнение \(\left|f(x)+\varphi(x)\right|=\left|f(x)\right|+\left|\varphi(x)\right|\).
Решение
Сразу отмечу, что обе функции определены при \(x\in{R}\). Учитывая \(|a|^2=a^2\) для любого \(a\in{R}\), возводим обе части заданного равенства в квадрат:
\[
f^2(x)+2f(x)\varphi(x)+\varphi^2(x)=f^2(x)+2\left|f(x)\varphi(x)\right|+\varphi^2(x);\\
2f(x)\varphi(x)=2\left|f(x)\varphi(x)\right|;\;f(x)\varphi(x)=\left|f(x)\varphi(x)\right|.
\]
Решением полученного уравнения будет любое значение аргумента, для которого \(f(x)\varphi(x)\ge{0}\). Это означает, что либо оба сомножителя в выражении \(f(x)\varphi(x)\) неположительны, либо же оба сомножителя неотрицательны.
\[
\left[
\begin{aligned}
&\left\{
\begin{aligned}
& x+1\le{0};\\
& x-2\le{0}.
\end{aligned}
\right.\\
&\left\{
\begin{aligned}
& x+1\ge{0};\\
& x-2\ge{0}.
\end{aligned}
\right.
\end{aligned}
\right.;\;\;
\left[
\begin{aligned}
& x\le{-1};\\
& x\ge{2}.
\end{aligned}
\right.
\]
Следовательно, решением заданного в условии уравнения будет любое значение \(x\in(-\infty;-1]\cup[2;+\infty)\).
Ответ:
\(x\in(-\infty;-1]\cup[2;+\infty)\)