0025-1
Информация о задаче
Задача №25 параграфа №1 главы №1 "Функции" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Указать два корня уравнения [math]f(x)=f\left(\frac{x+8}{x-1}\right)[/math], если известно, что функция [math]f(x)[/math] определена на отрезке [math][-5;5][/math]. Найти все корни данного уравнения для случая, когда [math]f(x)=x^2-12x+3[/math].
Решение
Найдём корни уравнения [math]x=\frac{x+8}{x-1}[/math], принадлежащие отрезку [math][-5;5][/math]. Из данного уравнения получим [math]x^2-2x-8=0[/math], откуда [math]x_1=-2[/math], [math]x_2=4[/math].
Функция [math]f(x)=x^2-12x+3[/math] определена при [math]x\in{R}[/math]. По идее, ограничение [math][-5;5][/math] не было снято, т.е. искать корни мы можем лишь на этом отрезке. Однако в ответе автор сборника приводит 4 корня, из которых один не принадлежит данному отрезку, поэтому будем считать, что фраза "найти все корни данного уравнения" означает отыскание корней на всей области определения функции [math]f(x)=x^2-12x+3[/math].
В принципе, чтобы получить искомые корни можно непосредственно подставить [math]\frac{x+8}{x-1}[/math] в функцию [math]f(x)[/math], получив при этом следующее:
[dmath] x^2-12x+3 =\left(\frac{x+8}{x-1}\right)^2-12\cdot\left(\frac{x+8}{x-1}\right)+3;\\ x^4-14x^3+36x^2+56x-160=0. [/dmath]
Корни -2 и 4 нам уже известны. Разделив полученный многочлен на [math](x+2)(x+4)[/math], используя, например, дважды схему Горнера, получим иные корни этого уравнения: [math]x_3=2[/math] и [math]x_4=10[/math].
Можно пойти и иным путём. Полагая [math]t=\frac{x+8}{x-1}[/math] из уравнения [math]f(x)=f(t)[/math] будем иметь:
[dmath] x^2-12x+3=t^2-12t+3;\\ (x-t)\cdot\left(x+t-12\right)=0. [/dmath]
Уравнение [math]x=t[/math] было решено ранее. А из уравнения [math]x+t-12=0[/math] получим [math]x^2-12x+20=0[/math], откуда [math]x_3=2[/math], [math]x_4=10[/math].
Ответ
- -2; 4.
- -2; 2; 4; 10.
