Задача №1016
Условие
Дано: \(f(x)=2x^3-5x^2-23x\). Найти все корни уравнения \(f(x)=f(-2)\).
Решение
Заданная функция определена при всех \(x\in{R}\), т.е. значение \(f(-2)\) существует. При подстановке \(x=-2\) в уравнение \(f(x)=f(-2)\) получим верное равенство, т.е. \(f(-2)=f(-2)\). Это значит, что число \(x=-2\) – корень заданного уравнения.
\[
f(-2)
=2\cdot(-8)-5\cdot{4}-23\cdot(-2)
=10
\]
Уравнение \(f(x)=f(-2)\) запишем в такой форме:
\[
2x^3-5x^2-23x-10=0
\]
Один корень полученного уравнения уже известен: \(x=-2\). Далее можно просто разделить многочлен \(2x^3-5x^2-23x-10\) на \(x+2\), используя или схему Горнера или же деление многочленов "столбиком", получив при этом такой результат:
\[
(x+2)\left(2x^2-9x-5\right)=0
\]
Из уравнения \(2x^2-9x-5=0\) получим, что \(x=5\) или \(x=-\frac{1}{2}\).
Ответ:
-2, 5, \(-\frac{1}{2}\).