Задача №1015
Условие
Дано: \(f(x)=x^2-2x+3\). Найти все корни уравнения: а) \(f(x)=f(0)\); б) \(f(x)=f(-1)\).
Решение
Сразу стоит отметить, что один корень каждого заданного уравнения можно найти сразу: в первом уравнении таким корнем будет \(x=0\), а во втором – \(x=-1\). Например, подставляя \(x=0\) в уравнение \(f(x)=f(0)\) получим верное равенство: \(f(0)=f(0)\).
В данной задаче уравнения получаются простыми, поэтому решение можно выполнить и без учёта сделанного выше замечания. Однако в следующей задаче 1016 аналогичные рассуждения существенно облегчат решение.
Пункт №1
\[
f(0)=0^2-2\cdot{0}+3=3.
\]
Из уравнения \(f(x)=f(0)\) получим:
\[
x^2-2x+3=3;\\
x^2-2x=0;\\
x\cdot(x-2)=0.\\
x_1=0;\;x_2=2.
\]
Пункт №2
\[
f(-1)=(-1)^2-2\cdot(-1)+3=6.
\]
Из уравнения \(f(x)=f(-1)\) получим:
\[
x^2-2x+3=6;\\
x^2-2x-3=0;\\
D=16;\;x_1=-1;\;x_2=3.
\]
Ответ:
а) 0, 2. б) -1, 3.