0021-1
Информация о задаче
Задача №21 параграфа №1 главы №1 "Функции" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Показать, что если любая хорда графика функции [math]f(x)[/math] лежит выше стягиваемой ею дуги, то для всех [math]x_1\neq{x_2}[/math] имеет место равенство [math]\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\gt{f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)}[/math].
Решение
Рассмотрим хорду, проходящую через точки [math]\left(x_1;f(x_1)\right)[/math], [math]\left(x_2;f(x_2)\right)[/math]. Уравнение прямой, проходящей через эти точки, будет таким:
[dmath] y=\left(f(x_2)-f(x_1)\right)\cdot\frac{x-x_1}{x_2-x_1}+f(x_1) [/dmath]
Так как любая хорда лежит выше стягиваемой ею дуги, то для любого значения [math]x_1\le{x}\le{x_2}[/math] имеем:
[dmath] \left(f(x_2)-f(x_1)\right)\cdot\frac{x-x_1}{x_2-x_1}+f(x_1)\ge{f(x)} [/dmath]
Равенство будет достигаться лишь в точках, в которых хорда пересекает график [math]y=f(x)[/math], т.е. в точках [math]\left(x_1;f(x_1)\right)[/math], [math]\left(x_2;f(x_2)\right)[/math].
Значение [math]x_0=\frac{x_1+x_2}{2}[/math] принадлежит отрезку [math]\left[x_1;x_2\right][/math], при этом [math]x_0\neq{x_1}[/math], [math]x_0\neq{x_2}[/math]. Следовательно, подставляя [math]x_0[/math] в указанное выше неравенство, получим:
[dmath] \left(f(x_2)-f(x_1)\right)\cdot\frac{x_0-x_1}{x_2-x_1}+f(x_1)\gt{f(x_0)}\\ \left(f(x_2)-f(x_1)\right)\cdot\frac{\frac{x_1+x_2}{2}-x_1}{x_2-x_1}+f(x_1)\gt{f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)}\\ \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\gt{f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)} [/dmath]
Неравенство доказано.
Ответ
Неравенство доказано.
