002-11-2

Информация о задаче

Задача №2 параграфа №11 "Асимптоты и графики функций" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).

Условие задачи

Найти асимптоты графика функции [math]y=y(x)[/math].

1. [math]y=x+\frac{1}{x^2}[/math]
2. [math]y=x+\frac{x^2}{x^2+1}[/math]
3. [math]y=\frac{x^2+8x-6}{x}[/math]
4. [math]y=\frac{x^2}{x+4}[/math]
5. [math]y=\frac{x^2}{|x|+1}[/math]
6. [math]y=\frac{2x^4+x^3+1}{x^3}[/math]
7. [math]y=\frac{x^3}{(x+1)^2}[/math]
8. [math]y=\frac{x^2-2x+3}{x+2}[/math]
9. [math]y=\frac{x^3-3ax^2+a^3}{x^2-3bx+2b^2}[/math]
10. [math]y=\frac{x^5}{x^4+1}[/math]

Решение

Пункт №2

Функция [math]y=x+\frac{x^2}{x^2+1}[/math] определена и непрерывна при всех [math]x\in{R}[/math], поэтому вертикальных асимптот кривая не имеет. Уравнение наклонных асимптот ищем в виде [math]y=kx+b[/math]:

[dmath] \begin{aligned} & k=\lim_{x\to\infty}\frac{y(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{x}{x^2+1}\right)=1+0=1.\\ & b=\lim_{x\to\infty}\left(y(x)-kx\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x^2+1}=1. \end{aligned} [/dmath]

Следовательно, прямая [math]y=x+1[/math] – наклонная асимптота.

Ответ

1. Ответ к пункту №1
2. [math]y=x+1[/math] – наклонная асимптота.