002-06-2

Информация о задаче

Задача №2 параграфа №6 "Многочлены. Алгебраические уравнения. Рациональные дроби" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).

Условие задачи

Найти остаток от деления многочлена [math]P(x)[/math] на [math](x+4)(x-5)[/math], если остатки от деления этого многочлена на [math]x+4[/math] и [math]x-5[/math] равны соответственно 5 и 14.

Решение

Искомый остаток равен [math]r(x)=ax+b[/math].

[dmath] P(x)=(x+4)(x-5)\cdot{Q(x)}+r(x)=(x+4)(x-5)\cdot{Q(x)}+ax+b. [/dmath]

Подставляя в данное равенство [math]x=-4[/math] и [math]x=5[/math] и учитывая, что согласно условию [math]P(-4)=5[/math], [math]P(5)=14[/math], будем иметь:

[dmath] \left\{\begin{aligned} & -4a+b=5;\\ & 5a+b=14. \end{aligned}\right. [/dmath]

Решив данную систему, получим значения: [math]a=1[/math], [math]b=9[/math]. Таким образом, искомый остаток [math]r(x)=x+9[/math].

Ответ

[math]x+9[/math]