Задача №1888

Доказательство иррациональности числа \(\sqrt{2}\) довольно банально – оно наличествует практически в любом курсе математического анализа. Можно посмотреть, например, книгу Фихтенгольца "Курс дифференциального и интегрального исчисления" (том №1, параграф №1). Стандартное доказательство ведётся от противного: предполагаем, что \(\sqrt{2}\) – рационально, т.е. равно некоей дроби \(\frac{m}{n}\), где \(m\in{Z}\), \(n\in{N}\). При этом саму дробь \(\frac{m}{n}\) полагаем несократимой.

Исходя из равенства \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) имеем \(m^2=2n^2\). Значит, число \(m^2\), а следовательно и само число \(m\), – чётное, т.е. \(m=2k\), где \(k\in{Z}\). Из равенств \(m=2k\) и \(m^2=2n^2\) имеем \(n^2=2k^2\), т.е. число \(n\) также чётное. Таким образом, дробь \(\frac{m}{n}\) сократима. Полученное противоречие говорит о том, что предположение о рациональности числа \(\sqrt{2}\) неверно.

Аналогично доказывается утверждение о иррациональности числа \(\sqrt{3}\). В процессе доказательства мы используем тот факт, что если число \(m^2\) делится на 3, то и само число \(m\) делится на 3. Это очевидное утверждение легко доказать формально: от противного. Пусть \(m\) не делится на 3, при этом число \(m^2\) кратно трём. Так как \(m\) не делится на 3, его можно представить в такой форме: \(m=3t+r\), где \(r\) принимает значение 1 или 2. Далее, из условия \(m^2\vdots{3}\) имеем \(m^2=3k\), откуда получим:

Левая часть полученного равенства не делится на 3, а правая часть – делится. Полученное противоречие говорит о том, что число \(m\) кратно трём.

Что же касается числа \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\), то его иррациональность вновь доказывается от противного: полагаем, что \(\sqrt{2}+\sqrt{3}=a\), где \(a\) – рациональное число. Далее, возводя обе части равенства в квадрат и преобразуя выражение, получим \(\sqrt{6}=\frac{a^2-5}{2}\). Так как число \(\sqrt{6}\) иррациональное, а число \(\frac{a^2-5}{2}\) является рациональным, то имеем противоречие. Вывод: число \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) – иррациональное.