Задача №1011
Условие
\(f(x)=\sin{x}-\cos{x}\). Доказать, что \(f(1)\gt{0}\).
Решение
Так как \(0\lt{1}\lt\frac{\pi}{2}\), то \(\cos{1}\gt{0}\), \(\sin{1}\gt{0}\). Так как \(\frac{\pi}{2}\lt{2}\lt{\pi}\), то \(\cos{2}\lt{0}\).
\[
f(1)
=\sin{1}-\cos{1}
=\frac{\left(\sin{1}-\cos{1}\right)\cdot\left(\sin{1}+\cos{1}\right)}{\sin{1}+\cos{1}}
=\frac{\sin^2{1}-\cos^2{1}}{\sin{1}+\cos{1}}
=\frac{-\cos{2}}{\sin{1}+\cos{1}}\gt{0}.
\]
Ответ:
Неравенство доказано