001-15-3

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1 параграфа №15 "Абсолютно и не абсолютно сходящиеся ряды" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №2, 2003 г.).

Условие задачи

Доказать, что ряды абсолютно сходятся:

  1. [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin\left(2n+\frac{\pi}{4}\right)}{n\cdot\sqrt[3]{n+2}}[/math]
  2. [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\arctg(-n)^n}{\sqrt[4]{2n^6+3n+1}}[/math]
  3. [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\cos\frac{\pi{n}}{4}}{(n+2)\sqrt{\ln^3(n+3)}}[/math]
  4. [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\ln^2{n}}{2^n}[/math]
  5. [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt[5]{n}}\arcsin\frac{\pi}{4n}[/math]
  6. [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\cos^3{n}\cdot\arctg\frac{n+1}{n^3+2}[/math]
  7. [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sqrt{\frac{n^2+3}{n^3+4n}}\ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right)[/math]
  8. [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}n^3\sin{n}\cdot{e^{-\sqrt{n}}}[/math]

Решение

Пункт №1

Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов данного ряда: [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{\sin\left(2n+\frac{\pi}{4}\right)}{n\cdot\sqrt[3]{n+2}}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left|\sin\left(2n+\frac{\pi}{4}\right)\right|}{n\cdot\sqrt[3]{n+2}}[/math]. Так как [math]\left|\sin\left(2n+\frac{\pi}{4}\right)\right|\le{1}[/math], то получим:

[dmath] \frac{\left|\sin\left(2n+\frac{\pi}{4}\right)\right|}{n\cdot\sqrt[3]{n+2}}\le \frac{1}{n\cdot\sqrt[3]{n+2}}\lt \frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}. [/dmath]

Так как степень [math]\frac{4}{3}\gt{1}[/math], то ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}[/math] сходится, поэтому согласно признаку сходимости будет сходиться и ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left|\sin\left(2n+\frac{\pi}{4}\right)\right|}{n\cdot\sqrt[3]{n+2}}[/math]. Это значит, что ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin\left(2n+\frac{\pi}{4}\right)}{n\cdot\sqrt[3]{n+2}}[/math] сходится абсолютно.

Ответ