001-12-2
Информация о задаче
Задача №1 параграфа №12 "Равномерная непрерывность функции" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).
Условие задачи
Доказать, что функция [math]f[/math] равномерно непрерывна на множестве [math]X[/math], если:
- [math]f(x)=2x-1[/math], [math]X=R[/math].
- [math]f(x)=x^2[/math], [math]X=(-1;1)[/math].
- [math]f(x)=\sqrt[3]{x}[/math], [math]X=[0;2][/math].
- [math]f(x)=\sin{x^2}[/math], [math]X=(-3;3][/math].
- [math]f(x)=x\sin\frac{1}{x}[/math], [math]X=(0;\pi][/math].
Решение
Пункт №1
Пусть [math]x'[/math], [math]x''[/math] – произвольные числа, принадлежащие множеству [math]X[/math].
[dmath] \left|f(x')-f(x'')\right| =\left|2x'-1-(2x''-1)\right| =2\left|x'-x''\right| [/dmath]
Неравенство [math]\left|f(x')-f(x'')\right|\lt\varepsilon[/math] равносильно неравенству [math]\left|x'-x''\right|\lt\frac{\varepsilon}{2}[/math]. Таким образом, для любого [math]\varepsilon\gt{0}[/math] существует [math]\delta=\frac{\varepsilon}{2}[/math] такое, что для любых [math]x'\in{X}[/math], [math]x''\in{X}[/math], удовлетворяющих условию [math]\left|x'-x''\right|\lt\delta[/math], верно неравенство [math]\left|f(x')-f(x'')\right|\lt\varepsilon[/math]. Это значит, что функция [math]f(x)=2x-1[/math] равномерно непрерывна на [math]R[/math].
