001-05-4

Информация о задаче

Задача №1 параграфа №5 "Экстремумы функций" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №3, 2003 г.).

Условие задачи

Исследовать функцию [math]u(x,y)[/math] на экстремум:

1. [math]u=x^2+xy+y^2-12x-3y[/math]

Решение

Пункт №1

[math]u'_{x}=2x+y-12[/math], [math]u'_{y}=x+2y-3[/math].

[dmath] \left\{\begin{aligned} & 2x+y-12=0;\\ & x+2y-3=0. \end{aligned}\right. [/dmath]

Стационарная точка: [math]M(7;-2)[/math].

[math]u''_{xx}=2[/math], [math]u''_{xy}=1[/math], [math]u''_{yy}=2[/math].

[dmath]\Delta=u''_{xx}\cdot{u''_{yy}}-\left(u''_{xy}\right)^2=3[/dmath]

Так как [math]u''_{xx}\gt{0}[/math] и [math]\Delta\gt{0}[/math], то [math]M[/math] - точка минимума.

[dmath]u_{\min}=u(7;-2)=-39[/dmath].

Ответ

1. [math]u_{\min}=u(7;-2)=-39[/math].