0009-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №9 параграфа №1 главы №1 "Функции" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Даны функции: а) [math]f(x)=\frac{x-2}{x+1}[/math]; б) [math]\varphi(x)=\frac{|x-2|}{x+1}[/math]. Найти [math]f(0)[/math], [math]f(1)[/math], [math]f(2)[/math], [math]f(-2)[/math], [math]f\left(-\frac{1}{2}\right)[/math]; [math]f(\sqrt{2})[/math], [math]\left|f\left(\frac{1}{2}\right)\right|[/math], [math]\varphi(0)[/math], [math]\varphi(1)[/math], [math]\varphi(2)[/math], [math]\varphi(-2)[/math], [math]\varphi(4)[/math]. Существует ли [math]f(-1)[/math], [math]\varphi(-1)[/math]?

Решение

[math] \begin{aligned} &f(0)=\frac{0-2}{0+1}=-2;\;f(1)=\frac{1-2}{1+1}=-\frac{1}{2};\\ &f(2)=\frac{2-2}{2+1}=0;\;f(-2)=\frac{-2-2}{-2+1}=4;\\ &f\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{-\frac{1}{2}-2}{-\frac{1}{2}+1}=-5;\;\left|f\left(\frac{1}{2}\right)\right|=\left|\frac{\frac{1}{2}-2}{\frac{1}{2}+1}\right|=1;\\ & f(\sqrt{2})=\frac{\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}+1}=\frac{(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=4-3\sqrt{2}. \end{aligned} [/math]


[math] \begin{aligned} & \varphi(0)=\frac{|0-2|}{0+1}=2;\;\varphi(1)=\frac{|1-2|}{1+1}=\frac{1}{2};\\ & \varphi(2)=\frac{|2-2|}{2+1}=0;\; \varphi(-2)=\frac{|-2-2|}{-2+1}=-4;\; \varphi(4)=\frac{|4-2|}{4+1}=\frac{2}{5}. \end{aligned} [/math]

Так как при [math]x=-1[/math] имеем [math]x+1=0[/math], то значения [math]f(-1)[/math], [math]\varphi(-1)[/math] не определены.

Ответ

[math]f(0)=-2[/math], [math]f(1)=-\frac{1}{2}[/math], [math]f(2)=0[/math], [math]f(-2)=4[/math], [math]f\left(-\frac{1}{2}\right)=-5[/math]; [math]f(\sqrt{2})=4-3\sqrt{2}[/math], [math]\left|f\left(\frac{1}{2}\right)\right|=1[/math], [math]\varphi(0)=2[/math], [math]\varphi(1)=\frac{1}{2}[/math], [math]\varphi(2)=0[/math], [math]\varphi(-2)=-4[/math], [math]\varphi(4)=\frac{2}{5}[/math].